Idioma da matemática
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Que idioma é
Aqui estão algumas definições de linguagem:
A systematic means of communicating by the use of sounds or conventional symbolsA system of words used in a particular disciplineA system of abstract codes which represent antecedent events and concepts[page needed]The code we all use to express ourselves and communicate to others - Speech & Language Therapy Glossary of TermsA set (finite or infinite) of sentences, each finite in length and constructed out of a finite set of elements - Noam Chomsky.Essas definições descrevem a linguagem em termos dos seguintes componentes:
A vocabulary of symbols or wordsA grammar consisting of rules of how these symbols may be usedA 'syntax' or propositional structure, which places the symbols in linear structures.A 'discourse' or 'narrative,' consisting of strings of syntactic propositions[page needed]A community of people who use and understand these symbolsA range of meanings that can be communicated with these symbolsCada um desses componentes também é encontrado na linguagem da matemática.
O vocabulário da matemática
A notação matemática assimilou símbolos de muitos alfabetos diferentes (por exemplo, grego, hebraico, latim) e tipos de letra (por exemplo, cursivo, caligráfico, quadro -negro). Também inclui símbolos específicos para a matemática, como
∀ ∃ ∨ ∧ ∞ . {\displaystyle \forall \ \exists \ \vee \ \wedge \ \infty .}
A notação matemática é central para o poder da matemática moderna. Embora a álgebra de al-Khwārizmī não tenha usada esses símbolos, ela resolveu equações usando muito mais regras do que é usado hoje com notação simbólica e teve grande dificuldade em trabalhar com várias variáveis (que por meio de notação simbólica podem ser simplesmente indicadas como x, y, z {\ displayStyle x, y, z}, etc.).
Às vezes, as fórmulas não podem ser entendidas sem uma explicação escrita ou falada, mas muitas vezes são suficientes por si mesmas. Em outras ocasiões, pode ser difícil ler em voz alta ou a informação é perdida na tradução para as palavras, como quando vários fatores entre parênteses estão envolvidos ou quando uma estrutura complexa como uma matriz é manipulada.
Como qualquer outra disciplina, a matemática também possui sua própria marca de terminologia técnica. Em alguns casos, uma palavra no uso geral pode ter um significado diferente e específico na matemática (como os casos de "grupo", "anel", "campo", "categoria", "termo" e "fator"). Para mais exemplos, consulte a categoria: Terminologia Matemática.
Em outros casos, termos especializados, como "tensor", "fractal" e "functor", foram criados exclusivamente para uso em matemática. As declarações matemáticas têm sua própria taxonomia moderadamente complexa, sendo divididas em axiomas, conjecturas, proposições, teoremas, lemas e corolários. E existem frases de estoque em matemática, usadas com significados específicos, como "se e somente se", "necessário e suficiente" e "sem perda de generalidade". Tais frases são conhecidas como jargão matemático.
O vocabulário da matemática também possui elementos visuais. Os diagramas são usados informalmente em quadros negros, bem como mais formalmente em trabalhos publicados. Quando usados adequadamente, os diagramas exibem informações esquemáticas com mais facilidade. Os diagramas também podem ajudar visualmente e ajudar os cálculos intuitivos. Às vezes, como em uma prova visual, um diagrama pode até servir como justificativa completa para uma proposição. Um sistema de convenções de diagrama pode evoluir para uma notação matemática, como o caso da notação gráfica de Penrose para os produtos tensores.
A gramática da matemática
A notação matemática usada para fórmulas tem sua própria gramática, não dependente de uma linguagem natural específica, mas compartilhada internacionalmente pelos matemáticos, independentemente de suas línguas maternas. Isso inclui as convenções de que as fórmulas são escritas predominantemente para a direita, mesmo quando o sistema de escrita da linguagem do substrato é da direita para a esquerda e que o alfabeto latino é comumente usado para variáveis e parâmetros simples. Uma fórmula como
sin x + a cos 2 x ≥ 0 {\displaystyle \sin x+a\cos 2x\geq 0}
é entendido por matemáticos chineses e sírios.
Tais fórmulas matemáticas podem fazer parte do discurso em uma frase de linguagem natural, ou até assumir o papel de uma frase de pleno direito. Por exemplo, a fórmula acima, uma desigualdade, pode ser considerada uma frase ou uma cláusula independente na qual o maior ou igual ao símbolo tem o papel de um verbo simbólico. Em uma fala cuidadosa, isso pode ser esclarecido pronunciando "≥" como "é maior ou igual a", mas em um contexto informal matemáticos pode diminuir isso para "maior ou igual" e, no entanto, lidar com isso gramaticalmente como um verbo. Um bom exemplo é o título do livro, por que e = mc2?; Aqui, o sinal igual tem o papel de um infinitivo.
As fórmulas matemáticas podem ser vocalizadas (isto é, faladas em voz alta). O sistema de vocalização para fórmulas deve ser aprendido e depende da linguagem natural subjacente. Por exemplo, ao usar o inglês, a expressão "ƒ (x)" é convencionalmente pronunciada "EFF de EKs", onde a inserção da preposição "de" não é sugerida pela notação em si. A expressão "d y d x {\ displaystyle {\ tfrac {dy} {dx}}}", por outro Os contextos são frequentemente pronunciados como "acima". O título do livro Por que E = MC2? é dito em voz alta como por que o EE é igual a squared?.
A característica do discurso matemático - formal e informal - é o uso da primeira pessoa inclusiva do plural "nós" para significar: "O público (ou leitor) junto com o orador (ou autor)".
Convenções tipográficas
Como é o caso da linguagem matemática falada, no discurso matemático escrito ou impresso, expressões matemáticas contendo um verbo simbólico, como =, ∈, ∃ {\ displayStyle =, \ \ in, \ \ existe}, são geralmente tratadas como cláusulas (dependentes dependentes (\ \ ou independente) em sentenças ou em sentenças completas e são pontuadas como tal por matemáticos e físicos teóricos. Em particular, isso é verdade para expressões embutidas e exibidas. Por outro lado, os escritores de outras disciplinas da ciência natural podem tentar evitar o uso de equações dentro das frases e podem tratar expressões exibidas da mesma maneira que figuras ou esquemas.
Como exemplo, um matemático pode escrever:
If ( a n ) {\displaystyle (a_{n})}
and ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} 
are convergent sequences of real numbers, and lim n → ∞ a n = A {\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A} 
, lim n → ∞ b n = B {\textstyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=B} 
, then ( c n ) {\displaystyle (c_{n})} 
, defined for all positive integers n {\displaystyle n} 
by c n = a n + b n {\displaystyle c_{n}=a_{n}+b_{n}} 
, is convergent, and lim n → ∞ c n = A + B {\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=A+B} 
.Nesta afirmação, "(a n) {\ displaystyle (a_ {n})}" (no qual (a n) {\ displayStyle (a_ {n})} é lido como "ay en" ou talvez mais formalmente, como " a sequência ay en ") e" (b n) {\ displayStyle (b_ {n})} "são tratados como substantivos, enquanto" lim n → ∞ a n = a {\ textstyle \ lim _ {n \ a \ infty} a_ {n} = a} "(leia: o limite de a n {\ displaystyle a_ {n}} como n tende ao infinito é igual a 'grande a')," lim n → ∞ b n = b {\ textstyle \ lim _ {n \ para \ infty} b_ {n} = b} "e" lim n → ∞ c n = a + b {\ textstyle \ lim _ {n \ to \ infty} c_ {n} = a + b} "são lidos como cláusulas independentes e "c n = a n + b n {\ displaystyle c_ {n} = a_ {n} + b_ {n}}" é lido como "a equação c n {\ displaystyle c_ {n}} é igual a n {\ displaystylele a_ {n}} mais b n {\ displayStyle b_ {n}} ".
Além disso, a frase termina após a equação exibida, conforme indicado pelo período após "lim n → ∞ c n = a + b {\ textstyle \ lim _ {n \ a \ infty} c_ {n} = a + b}". Em termos de convenções de digitação, em geral, funções matemáticas padrão, como pecado e operações como +, além de símbolos de pontuação, incluindo os vários colchetes, são estabelecidos no tipo romano, enquanto as variáveis do alfabeto latino são definidas em itálico. Por outro lado, matrizes, vetores e outros objetos compostos por componentes às vezes são estabelecidos em negrito (principalmente em textos elementares) e às vezes em itálico (principalmente em textos avançados).
(Há alguma discordância sobre se as constantes padrão, como e, π e i = (–1) 1/2, ou o "d" em dy/dx devem ser itálicas. Roman, enquanto os minúsculos são frequentemente em itálico.)
Há também várias convenções, ou mais exatamente tradições, para a parte do alfabeto a partir do qual os nomes das variáveis são escolhidos. Por exemplo, i, j, k, l, m, n geralmente são reservados para números inteiros, w e z são frequentemente usados para números complexos, enquanto A, B, C, α, β, γ são usados para números reais. As letras x, y, z são frequentemente usadas para incógnitas a serem encontradas ou como argumentos de uma função, enquanto a, b, c são usados para coeficientes e f, g, h são usados principalmente como nomes de funções. Essas convenções não são regras difíceis, mas são sugestões a serem atendidas para melhorar a legibilidade e fornecer uma intuição para a natureza de um determinado objeto, de modo que não se deve lembrar, nem para verificar a introdução do objeto matemático.
As definições são sinalizadas por palavras como "nós chamamos", "dizemos" ou "queremos dizer" ou por declarações como "um [objeto] é [palavra a ser definida] se [condição]" (por exemplo, "um conjunto é fechado se contiver todos os seus pontos limitados. "). Como uma convenção especial, a palavra "se" em tal definição deve ser interpretada como "se e somente se".
Os teoremas geralmente têm um título ou rótulo em negrito e podem até identificar seu criador (por exemplo, "Teorema 1.4 (Weyl)."). Isso é imediatamente seguido pela declaração do teorema, que por sua vez é geralmente definido em itálico. A prova de um teorema é geralmente claramente delimitada, começando com a prova da palavra, enquanto o final da prova é indicado por uma lápide ("∎ ou □") ou outro símbolo, ou pelas letras Q.E.D.
A comunidade de matemática do idioma
A matemática é usada por matemáticos, que formam uma comunidade global composta por oradores de vários idiomas. Também é usado por estudantes de matemática. Como a matemática faz parte do ensino fundamental em quase todos os países, quase todas as pessoas educadas têm alguma exposição à matemática pura. Existem muito poucas dependências culturais ou barreiras na matemática moderna. Existem competições internacionais de matemática, como a Olimpíada Matemática Internacional, e a cooperação internacional entre matemáticos profissionais é comum. [Citação necessária]
Expressão concisa
O poder da matemática está na economia da expressão de idéias, geralmente a serviço da ciência. Horatio Burt Williams tomou nota do efeito dessa forma compacta na física:
Textbooks of physics of seventy-five years ago were much larger than at present. This in spite of the enormous additions since made to our knowledge of the subject. But these older books were voluminous because of minute descriptions of phenomena which we now recognize as what a mathematician would call particular cases, comprehended under broad general principles.Em matemática em si, a brevidade é profunda:
In writing papers which will probably be read only by professional mathematicians, authors not infrequently omit so many intermediate steps in order to condense their papers that the filling in of the gaps even by industrious use of paper and pencil may become no inconsiderable labor, especially to one approaching the subject for the first time.Williams cita Ampère como um cientista que resumiu suas descobertas com matemática:
The smooth and concise demonstration is not necessarily conceived in that finished form...We can scarcely believe that Ampère discovered the law of action by means of the experiment which he describes. We are led to suspect, what indeed, he tells us himself, that he discovered the law by some process which he has not shewn us, and that when he had afterwards built up a perfect demonstration, he removed all traces of the scaffolding by which he raised it.O significado da matemática está nos processos lógicos da mente foram codificados pela matemática:
Now mathematics is both a body of truth and a special language, a language more carefully defined and more highly abstracted than our ordinary medium of thought and expression. Also it differs from ordinary languages in this important particular: it is subject to rules of manipulation. Once a statement is cast into mathematical form it may be manipulated in accordance with these rules and every configuration of the symbols will represent facts in harmony with and dependent on those contained in the original statement. Now this comes very close to what we conceive the action of the brain structures to be in performing intellectual acts with the symbols of ordinary language. In a sense, therefore, the mathematician has been able to perfect a device through which a part of the labor of logical thought is carried on outside the central nervous system with only that supervision which is requisite to manipulate the symbols in accordance with the rules.O ensaio de Williams era uma palestra de Gibbs preparada para os cientistas em geral, e ele estava particularmente preocupado com o fato de os cientistas biológicos não ficarem para trás:
Not alone the chemist and physicist, but the biologist as well, must be able to read mathematical papers if he is not to be cut off from the possibility of understanding important communications in his own field of science. And the situation here is worse than it is in the case of inability to read a foreign language. For a paper in a foreign language may be translated, but in many cases it is impossible to express in ordinary language symbols the content of a mathematical paper in such a way as to convey a knowledge of the logical process by which the conclusions have been reached.Os significados da matemática
A matemática é usada para comunicar informações sobre uma ampla gama de assuntos diferentes. Aqui estão três categorias amplas:
Mathematics describes the real world: many areas of mathematics originated with attempts to describe and solve real world phenomena - from measuring farms (geometry) to falling apples (calculus) to gambling (probability). Mathematics is widely applied in modern physics and engineering, and has been hugely successful in helping us to understand more about the universe around us from its largest scales (physical cosmology) to its smallest (quantum mechanics). Indeed, the very success of mathematics in this respect has been a source of puzzlement for some philosophers (see The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences by Eugene Wigner).Mathematics describes abstract structures: on the other hand, there are areas of pure mathematics which deal with abstract structures, which have no known physical counterparts at all. However, it is difficult to give any categorical examples here, as even the most abstract structures can be co-opted as models in some branch of physics (see Calabi-Yau spaces and string theory).Mathematics describes mathematics: mathematics can be used reflexively to describe itself—this is an area of mathematics called metamathematics.A matemática pode comunicar uma série de significados que são tão amplos quanto (embora diferentes) a de uma linguagem natural. Como o matemático inglês R. L. E. Schwarzenberger diz:
My own attitude, which I share with many of my colleagues, is simply that mathematics is a language. Like English, or Latin, or Chinese, there are certain concepts for which mathematics is particularly well suited: it would be as foolish to attempt to write a love poem in the language of mathematics as to prove the Fundamental Theorem of Algebra using the English language.Visualizações alternativas
Algumas definições de linguagem, como as primeiras versões da definição de "design de design" de Charles Hockett, enfatizam a natureza falada da linguagem. A matemática não se qualificaria como um idioma sob essas definições, pois é principalmente uma forma de comunicação escrita (para ver o porquê, tente ler as equações de Maxwell em voz alta). No entanto, essas definições também desqualificariam os idiomas de sinais, que agora são reconhecidos como idiomas por si só, independentemente da linguagem falada. [Citação necessária]
Outros linguistas acreditam que nenhuma comparação válida pode ser feita entre matemática e linguagem, porque eles são simplesmente muito diferentes: "A matemática parece ser mais e menos que uma linguagem, para serem limitados em seus recursos lingüísticos que também parece envolver uma forma de Pensando que tem algo em comum com arte e música ".