Matemática

MathematicsArticles0–9ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZScientistsABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZNavigationListsOutlinePortalAreas

Matemática (do Grego Antigo μάθημα; Máchēma: 'Conhecimento, Estudo, Aprendizagem') é uma área de conhecimento que inclui tópicos como números (aritmética, teoria do número), fórmulas e estruturas relacionadas (álgebra), formas e os espaços nos quais eles estão contidos (geometria) e quantidades e suas mudanças (cálculo e análise).

A maioria da atividade matemática envolve a descoberta e a prova de propriedades de objetos abstratos por raciocínio puro. Esses objetos são abstrações da natureza, como números ou linhas naturais, ou - na matemática moderna - entidades estipuladas com certas propriedades, chamadas axiomas. Uma prova consiste em uma sucessão de aplicações de algumas regras dedutivas para resultados já conhecidos, incluindo teoremas, axiomas provados anteriormente e (em caso de abstração da natureza) algumas propriedades básicas que são consideradas verdadeiras pontos de partida da teoria em consideração. O resultado de uma prova é chamado de teorema.

A matemática é amplamente utilizada na ciência para modelar fenômenos. Isso permite a extração de previsões quantitativas das leis experimentais. Por exemplo, o movimento dos planetas pode ser previsto com precisão usando a lei de gravitação de Newton combinada com a computação matemática. A independência da verdade matemática de qualquer experimentação implica que a precisão de tais previsões depende apenas da adequação do modelo para descrever a realidade. Previsões imprecisas implicam a necessidade de melhorar ou alterar modelos matemáticos, não que a matemática esteja errada nos próprios modelos. Por exemplo, a precessão do periélio de Mercúrio não pode ser explicada pela lei de gravitação de Newton, mas é explicada com precisão pela relatividade geral de Einstein. Essa validação experimental da teoria de Einstein mostra que a lei de gravitação de Newton é apenas uma aproximação, embora precisa na aplicação diária.

A matemática é essencial em muitos campos, incluindo ciências naturais, engenharia, medicina, finanças, ciência da computação e ciências sociais. . Outras áreas matemáticas são desenvolvidas independentemente de qualquer aplicação (e, portanto, são chamadas de matemática pura), mas as aplicações práticas são frequentemente descobertas posteriormente. Um exemplo adequado é o problema da fatoração inteira, que remonta à Euclid, mas que não tinha aplicação prática antes de seu uso no sistema de criptografia RSA (para a segurança das redes de computadores).

Historicamente, o conceito de uma prova e seu rigor matemático associado apareceram pela primeira vez na matemática grega, principalmente nos elementos de Euclides. Desde o seu início, a matemática foi essencialmente dividida em geometria e aritmética (a manipulação de números naturais e frações), até os séculos XVI e XVII, quando a álgebra e o cálculo infinitesimal foram introduzidos como novas áreas. Desde então, a interação entre inovações matemáticas e descobertas científicas levou a um rápido aumento no desenvolvimento da matemática. No final do século XIX, a crise fundamental da matemática levou à sistematização do método axiomático. Isso, por sua vez, deu origem a um aumento dramático no número de áreas de matemática e em seus campos de aplicações. Um exemplo disso é a classificação da matemática, que lista mais de sessenta áreas de matemática.

Áreas de matemática

Antes do renascimento, a matemática foi dividida em duas áreas principais: aritmética - em relação à manipulação de números e geometria - em relação ao estudo das formas. Alguns tipos de pseudociência, como numerologia e astrologia, não foram claramente distinguidos da matemática.

Durante o Renascimento, mais duas áreas apareceram. A notação matemática levou à álgebra, que, aproximadamente falando, consiste no estudo e na manipulação de fórmulas. O cálculo, consistindo nos dois subcampos de cálculo infinitesimal e cálculo integral, é o estudo de funções contínuas, que modelam as relações tipicamente não lineares entre quantidades variadas (variáveis). Essa divisão em quatro áreas principais - aritmética, geometria, álgebra, cálculo [verificação necessária] - sofreu até o final do século XIX. Áreas como mecânica celestial e mecânica sólida eram frequentemente consideradas como parte da matemática, mas agora são consideradas pertencentes à física. Alguns sujeitos desenvolvidos durante esse período anteriores à matemática e são divididos em áreas como teoria de probabilidade e combinatória, que apenas mais tarde se tornaram áreas autônomas.

No final do século XIX, a crise fundamental em matemática e a sistematização resultante do método axiomático levaram a uma explosão de novas áreas da matemática. Hoje, a classificação da matemática contém nada menos que sessenta e quatro áreas de primeiro nível. Algumas dessas áreas correspondem à divisão mais antiga, como é verdadeiro em relação à teoria dos números (o nome moderno para aritmética superior) e geometria. (No entanto, várias outras áreas de primeiro nível têm "geometria" em seus nomes ou são comumente consideradas parte da geometria.) Álgebra e cálculo não aparecem como áreas de primeiro nível, mas são respectivamente divididas em várias áreas de primeiro nível. Outras áreas de primeiro nível surgiram durante o século XX (por exemplo, teoria da categoria; álgebra homológica e ciência da computação) ou não havia sido considerada anteriormente como matemática, como lógica matemática e fundações (incluindo teoria do modelo, teoria da computação, teoria do conjunto, prova teoria e lógica algébrica).

Teoria dos Números

A teoria dos números começou com a manipulação de números, ou seja, números naturais (n), {\ displaystyle (\ mathbb {n}),} e posteriormente expandido para inteiros (z) {\ displayStyle (\ mathbb {z})} e Números racionais (Q). {\ displayStyle (\ mathbb {q}).} Anteriormente, a teoria do número era chamada de aritmética, mas hoje em dia esse termo é usado principalmente para cálculos numéricos.

Muitos problemas de números facilmente declarados têm soluções que exigem métodos sofisticados de toda a matemática. Um exemplo proeminente é o último teorema de Fermat. Essa conjectura foi declarada em 1637 por Pierre de Fermat, mas foi comprovada apenas em 1994 por Andrew Wiles, que usava ferramentas, incluindo a teoria do esquema da geometria algébrica, teoria da categoria e álgebra homológica. Outro exemplo é a conjectura de Goldbach, que afirma que todo número inteiro maior que 2 é a soma de dois números primos. Declarado em 1742 por Christian Goldbach, ele permanece não comprovado até hoje, apesar de considerável esforço.

A teoria dos números inclui várias subáreias, incluindo teoria dos números analíticos, teoria dos números algébricos, geometria de números (orientados para o método), equações diofantinas e teoria da transcendência (orientada a problemas).

Geometria

A geometria é um dos ramos mais antigos da matemática. Começou com receitas empíricas sobre formas, como linhas, ângulos e círculos, que foram desenvolvidos principalmente para as necessidades de levantamento e arquitetura, mas desde então floresceram em muitos outros subcampos.

Uma inovação fundamental foi a introdução do conceito de provas dos gregos antigos, com a exigência de que toda afirmação deve ser comprovada. Por exemplo, não é suficiente verificar pela medição que, digamos, dois comprimentos são iguais; Sua igualdade deve ser comprovada por meio de raciocínio de resultados aceitos anteriormente (teoremas) e algumas declarações básicas. As declarações básicas não estão sujeitas a prova porque são evidentes (postuladas) ou fazem parte da definição do assunto do estudo (axiomas). Esse princípio, que é fundamental para toda a matemática, foi elaborado pela primeira vez para a geometria e foi sistematizado por Euclides por volta de 300 aC em seus elementos de livro.

A geometria euclidiana resultante é o estudo de formas e seus arranjos construídos a partir de linhas, planos e círculos no plano euclidiano (geometria plana) e o espaço euclidiano (tridimensional).

A geometria euclidiana foi desenvolvida sem mudança de métodos ou escopo até o século XVII, quando René Descartes introduziu o que hoje é chamado de coordenadas cartesianas. Essa foi uma grande mudança de paradigma, pois, em vez de definir números reais como comprimentos dos segmentos de linha (veja a linha numérica), permitiu a representação de pontos usando suas coordenadas (que são números). Isso permite usar álgebra (e posteriormente, cálculo) para resolver problemas geométricos. Essa geometria dividida em dois novos subcampos: geometria sintética, que utiliza métodos puramente geométricos e geometria analítica, que usa coordenadas sistemicamente.

A geometria analítica permite o estudo de curvas que não estão relacionadas a círculos e linhas. Tais curvas podem ser definidas como gráfico de funções (cujo estudo levou à geometria diferencial). Eles também podem ser definidos como equações implícitas, geralmente equações polinomiais (que geraram geometria algébrica). A geometria analítica também torna possível considerar espaços superiores a três dimensões.

No século XIX, os matemáticos descobriram geometrias não-euclidianas, que não seguem o postulado paralelo. Ao questionar a verdade desse postulado, essa descoberta se junta ao paradoxo de Russel como revelando a crise fundamental da matemática. Esse aspecto da crise foi resolvido sistematizando o método axiomático e adotando que a verdade dos axiomas escolhidos não é um problema matemático. Por sua vez, o método axiomático permite o estudo de várias geometrias obtidas alterando os axiomas ou considerando propriedades invariantes sob transformações específicas do espaço.

Atualmente, as subáreas da geometria incluem:

Projective geometry, introduced in the 16th century by Girard Desargues, extends Euclidean geometry by adding points at infinity at which parallel lines intersect. This simplifies many aspects of classical geometry by unifying the treatments for intersecting and parallel lines.Affine geometry, the study of properties relative to parallelism and independent from the concept of length.Differential geometry, the study of curves, surfaces, and their generalizations, which are defined using differentiable functionsManifold theory, the study of shapes that are not necessarily embedded in a larger spaceRiemannian geometry, the study of distance properties in curved spacesAlgebraic geometry, the study of curves, surfaces, and their generalizations, which are defined using polynomialsTopology, the study of properties that are kept under continuous deformationsAlgebraic topology, the use in topology of algebraic methods, mainly homological algebraDiscrete geometry, the study of finite configurations in geometryConvex geometry, the study of convex sets, which takes its importance from its applications in optimizationComplex geometry, the geometry obtained by replacing real numbers with complex numbers

Álgebra

Álgebra é a arte de manipular equações e fórmulas. Diophantus (século III) e Al-Khwarizmi (século IX) foram os dois principais precursores da álgebra. O primeiro resolveu algumas equações envolvendo números naturais desconhecidos, deduzindo novas relações até obter a solução. O segundo introduziu métodos sistemáticos para transformar equações (como mover um termo de um lado de uma equação para o outro lado). O termo álgebra é derivado da palavra árabe que ele usou para nomear um desses métodos no título de seu tratado principal.

A álgebra tornou -se uma área por si só apenas com François Viète (1540-1603), que introduziu o uso de letras (variáveis) para representar números desconhecidos ou não especificados. Isso permite que os matemáticos descrevam as operações que precisam ser feitas nos números representados usando fórmulas matemáticas.

Até o século XIX, a álgebra consistia principalmente no estudo de equações lineares (atualmente álgebra linear) e equações polinomiais em um único desconhecido, chamado equações algébricas (um termo que ainda está em uso, embora possa ser ambíguo). Durante o século XIX, os matemáticos começaram a usar variáveis ​​para representar coisas diferentes de números (como matrizes, números inteiros modulares e transformações geométricas), nas quais as generalizações das operações aritméticas são frequentemente válidas. O conceito de estrutura algébrica aborda isso, consistindo de um conjunto cujos elementos não são especificados, de operações que atuam nos elementos do conjunto e regras que essas operações devem seguir. Devido a essa mudança, o escopo da álgebra cresceu para incluir o estudo de estruturas algébricas. Esse objeto de álgebra era chamado de álgebra moderna ou álgebra abstrata. (O último termo aparece principalmente em um contexto educacional, em oposição à álgebra elementar, que se preocupa com a maneira mais antiga de manipular fórmulas.)

Alguns tipos de estruturas algébricas têm propriedades úteis e muitas vezes fundamentais, em muitas áreas da matemática. O estudo deles se tornou partes autônomas da álgebra e incluem:

group theory;field theory;vector spaces, whose study is essentially the same as linear algebra;ring theory;commutative algebra, which is the study of commutative rings, includes the study of polynomials, and is a foundational part of algebraic geometry;homological algebraLie algebra and Lie group theory;Boolean algebra, which is widely used for the study of the logical structure of computers.

O estudo de tipos de estruturas algébricas como objetos matemáticos é o objeto da álgebra universal e da teoria da categoria. O último se aplica a todas as estruturas matemáticas (não apenas as algébricas). Na sua origem, foi introduzido, juntamente com a álgebra homológica para permitir o estudo algébrico de objetos não algébricos, como espaços topológicos; Esta área de aplicação específica é chamada de topologia algébrica.

Cálculo e análise

O cálculo, anteriormente chamado de cálculo infinitesimal, foi introduzido de forma independente e simultaneamente pelos matemáticos do século XVII Newton e Leibniz. É fundamentalmente o estudo da relação de variável que depende um do outro. O cálculo foi expandido no século 18 por Euler, com a introdução do conceito de uma função e muitos outros resultados. Atualmente, o "cálculo" refere -se principalmente à parte elementar dessa teoria, e a "análise" é comumente usada para peças avançadas.

A análise é subdividida em análises reais, onde as variáveis ​​representam números reais e análise complexa, onde as variáveis ​​representam números complexos. A análise inclui muitas subáreas, compartilhando algumas com outras áreas da matemática; eles incluem:

Multivariable calculusFunctional analysis, where variables represent varying functions;Integration, measure theory and potential theory, all strongly related with Probability theory;Ordinary differential equations;Partial differential equations;Numerical analysis, mainly devoted to the computation on computers of solutions of ordinary and partial differential equations that arise in many applications.

Matemática discreta

Matemática discreta, em termos gerais é o estudo de objetos matemáticos finitos. Como os objetos de estudo aqui são discretos, os métodos de cálculo e análise matemática não se aplicam diretamente. Os algoritmos - especialmente sua implementação e complexidade computacional - desempenham um papel importante na matemática discreta.

A matemática discreta inclui:

Combinatorics, the art of enumerating mathematical objects that satisfy some given constraints. Originally, these objects were elements or subsets of a given set; this has been extended to various objects, which establishes a strong link between combinatorics and other parts of discrete mathematics. For example, discrete geometry includes counting configurations of geometric shapesGraph theory and hypergraphsCoding theory, including error correcting codes and a part of cryptographyMatroid theoryDiscrete geometryDiscrete probability distributionsGame theory (although continuous games are also studied, most common games, such as chess and poker are discrete)Discrete optimization, including combinatorial optimization, integer programming, constraint programming

O teorema das quatro cores e a embalagem ideal da esfera foram dois grandes problemas de matemática discreta resolvidos na segunda metade do século XX. O problema de P versus NP, que permanece aberto a hoje, também é importante para a matemática discreta, pois sua solução afetaria grande parte dela. [Mais explicações necessárias]

Lógica matemática e teoria dos conjuntos

Os dois assuntos da lógica matemática e da teoria dos conjuntos pertencem à matemática desde o final do século XIX. Antes desse período, os conjuntos não eram considerados objetos matemáticos e lógica, embora usados ​​para provas matemáticos, pertenciam à filosofia e não foram especificamente estudados por matemáticos.

Antes do estudo de Cantor sobre conjuntos infinitos, os matemáticos relutavam em considerar realmente coleções infinitas e consideraram o infinito o resultado de uma enumeração sem fim. O trabalho de Cantor ofendeu muitos matemáticos não apenas considerando conjuntos realmente infinitos, mas mostrando que isso implica tamanhos diferentes de infinito (consulte o argumento diagonal de Cantor) e a existência de objetos matemáticos que não podem ser calculados ou mesmo explicitamente descritos (por exemplo, bases de hamel dos números reais sobre os números racionais). Isso levou à controvérsia sobre a teoria dos cenários de Cantor.

No mesmo período, várias áreas da matemática concluíram que as antigas definições intuitivas dos objetos matemáticos básicos eram insuficientes para garantir o rigor matemático. Exemplos dessas definições intuitivas são "um conjunto é uma coleção de objetos", "Número natural é o que é usado para contar", "um ponto é uma forma com um comprimento zero em todas as direções", "uma curva é um traço deixado por um ponto de movimento ", etc.

Isso se tornou a crise fundamental da matemática. Eventualmente, foi resolvido em matemática convencional sistematizando o método axiomático dentro de uma teoria formalizada de conjuntos. Aproximadamente falando, cada objeto matemático é definido pelo conjunto de todos os objetos semelhantes e pelas propriedades que esses objetos devem ter. Por exemplo, na aritmética de Peano, os números naturais são definidos por "Zero é um número", "cada número como sucessor único", "cada número, mas zero tem um antecessor único" e algumas regras de raciocínio. A "natureza" dos objetos definidos dessa maneira é um problema filosófico que os matemáticos deixam para os filósofos, mesmo que muitos matemáticos tenham opiniões sobre essa natureza e usem sua opinião - às vezes chamado de "intuição" - para guiar seus estudos e provas.

Essa abordagem permite considerar "lógicas" (ou seja, conjuntos de regras de dedução permitidas), teoremas, provas etc. como objetos matemáticos e provar os teoremas sobre eles. Por exemplo, os teoremas incompletistas de Gödel afirmam, falando aproximadamente que, em toda teoria que contém os números naturais, existem teoremas que são verdadeiros (que são prováveis ​​em uma teoria maior), mas não comprováveis ​​dentro da teoria.

Essa abordagem dos fundamentos da matemática foi desafiada durante a primeira metade do século XX pelos matemáticos liderados por Brouwer, que promoveu a lógica intuicionista, que falta explicitamente a lei do meio excluído.

Esses problemas e debates levaram a uma ampla expansão da lógica matemática, com subáreas como a teoria do modelo (modelando algumas teorias lógicas dentro de outras teorias), teoria da prova, teoria do tipo, teoria da computação e teoria da complexidade computacional. Embora esses aspectos da lógica matemática tenham sido introduzidos antes da ascensão dos computadores, seu uso no design do compilador, certificação do programa, assistentes de prova e outros aspectos da ciência da computação contribuiu para a expansão dessas teorias lógicas.

Matemática Aplicada

A Matemática Aplicada é o estudo de métodos matemáticos usados ​​em ciências, engenharia, negócios e indústria. Assim, "Matemática Aplicada" é uma ciência matemática com conhecimento especializado. O termo matemática aplicada também descreve a especialidade profissional na qual os matemáticos trabalham em problemas práticos; Como profissão focada em problemas práticos, a matemática aplicada se concentra na "formulação, estudo e uso de modelos matemáticos". [Citação necessária]

No passado, as aplicações práticas motivaram o desenvolvimento de teorias matemáticas, que se tornaram objeto de estudo em matemática pura, onde a matemática é desenvolvida principalmente por si. Assim, a atividade da matemática aplicada está vital conectada à pesquisa em matemática pura. [Exemplos necessários]

Estatísticas e outras ciências da decisão

A matemática aplicada tem uma sobreposição significativa com a disciplina de estatísticas, cuja teoria é formulada matematicamente, especialmente a teoria da probabilidade. [Definição necessária] Estatísticos (trabalhando como parte de um projeto de pesquisa) "Crie dados que fazem sentido" com amostragem aleatória e com experimentos randomizados; O design de uma amostra ou experimento estatístico especifica a análise dos dados (antes que os dados fiquem disponíveis). Ao reconsiderar dados de experimentos e amostras ou ao analisar dados de estudos observacionais, os estatísticos "entendem os dados" usando a arte da modelagem e a teoria da inferência - com seleção e estimativa de modelos; Os modelos estimados e previsões conseqüentes devem ser testadas em novos dados. [Esclarecimento necessário]

A teoria estatística estuda problemas de decisão, como minimizar o risco (perda esperada) de uma ação estatística, como o uso de um procedimento, por exemplo, estimativa de parâmetros, teste de hipóteses e selecionando o melhor. Nessas áreas tradicionais da estatística matemática, um problema de decisão estatística é formulada minimizando uma função objetiva, como perda ou custo esperado, sob restrições específicas: por exemplo, projetar uma pesquisa geralmente envolve minimizar o custo da estimativa de uma média populacional com um dado nível de confiança. Devido ao uso da otimização, a teoria matemática da estatística se sobrepõe a outras ciências da decisão, como pesquisa de operações, teoria de controle e economia matemática.

Matemática Computacional

A matemática computacional é o estudo de problemas matemáticos que normalmente são grandes demais para a capacidade numérica humana. Análise numérica Estudos Métodos para problemas na análise usando análise funcional e teoria da aproximação; A análise numérica inclui amplamente o estudo de aproximação e discretização, com foco especial em erros de arredondamento. Análise numérica e, de maneira mais ampla, a computação científica também estuda tópicos não analíticos da ciência matemática, especialmente a teoria algorítmica-matriz e graf. Outras áreas da matemática computacional incluem álgebra de computador e computação simbólica.

História

A história da matemática é uma série crescente de abstrações. Evolutivamente falando, a primeira abstração a ser descoberta, compartilhada por muitos animais, foi provavelmente a dos números: a percepção de que, por exemplo, uma coleção de duas maçãs e uma coleção de duas laranjas (digamos) têm algo em comum, ou seja, a saber, que existem dois deles. Como evidenciado pelas contas encontradas no osso, além de reconhecer como contar objetos físicos, os povos pré -históricos também podem ter sabido como contar quantidades abstratas, como o tempo - dias, estações ou anos.

As evidências de matemática mais complexas não aparecem até cerca de 3000 aC, quando os babilônios e egípcios começaram a usar aritmético, álgebra e geometria para tributação e outros cálculos financeiros, para construção e construção e astronomia. Os textos matemáticos mais antigos da Mesopotâmia e do Egito são de 2000 a 1800 aC. Muitos textos iniciais mencionam triplos pitagóricos e, portanto, por inferência, o teorema de Pitagoria parece ser o conceito matemático mais antigo e generalizado após aritmética e geometria básica. É na matemática babilônica que a aritmética elementar (adição, subtração, multiplicação e divisão) aparece pela primeira vez no registro arqueológico. Os babilônios também possuíam um sistema de valor local e usaram um sistema numeral sexagesimal que ainda está em uso hoje para medir ângulos e tempo.

A partir do século VI aC com os pitagóricos, com matemática grega, os gregos antigos iniciaram um estudo sistemático da matemática como disciplina por si só. Por volta de 300 aC, Euclides introduziu o método axiomático ainda usado hoje em matemática, consistindo em definição, axioma, teorema e prova. Seu livro, Elements, é amplamente considerado o livro didático mais bem -sucedido e influente de todos os tempos. O maior matemático da antiguidade é frequentemente considerado arquimedes (c. 287–212 aC) de Siracusa. Ele desenvolveu fórmulas para calcular a área de superfície e o volume de sólidos de revolução e usou o método de exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com o somatório de uma série infinita, de uma maneira não muito diferente do cálculo moderno. Outras conquistas notáveis ​​da matemática grega são seções cônicas (Apollonius de Perga, século III aC), trigonometria (Hipparchus de Nicaea, século II aC) e o início da álgebra (Diophantus, século III dC).

O sistema numeral hindu -árabe e as regras para o uso de suas operações, em uso em todo o mundo hoje, evoluíram ao longo do primeiro anúncio do milênio na Índia e foram transmitidas ao mundo ocidental via matemática islâmica. Outros desenvolvimentos notáveis ​​da matemática indiana incluem a definição moderna e a aproximação de seno e cosseno, e uma forma inicial de série infinita.

Durante a Era de Ouro do Islã, especialmente durante os séculos 9 e 10, a matemática viu muitas inovações importantes construindo matemática grega. A conquista mais notável da matemática islâmica foi o desenvolvimento da álgebra. Outras realizações do período islâmico incluem avanços na trigonometria esférica e a adição do ponto decimal ao sistema de números árabes. Muitos matemáticos notáveis ​​desse período foram persas, como al-Khwarismi, Omar Khayyam e Sharaf al-Dīn al-ṭūsī.

Durante o início do período moderno, a matemática começou a se desenvolver em um ritmo acelerado na Europa Ocidental. O desenvolvimento do cálculo por Isaac Newton e Gottfried Leibniz no século XVII revolucionou a matemática. Leonhard Euler foi o matemático mais notável do século 18, contribuindo com numerosos teoremas e descobertas. Talvez o principal matemático do século XIX tenha sido o matemático alemão Carl Gauss, que fez inúmeras contribuições para campos como álgebra, análise, geometria diferencial, teoria da matriz, teoria do número e estatística. No início do século XX, Kurt Gödel transformou a matemática publicando seus teoremas incompletistas, que mostram em parte que qualquer sistema axiomático consistente - se poderoso o suficiente para descrever a aritmética - contém proposições verdadeiras que não podem ser provadas.

Desde então, a matemática tem sido bastante prolongada e houve uma interação frutífera entre matemática e ciência, para o benefício de ambos. As descobertas matemáticas continuam sendo feitas até hoje. De acordo com Mikhail B. Sevryuk, na edição de janeiro de 2006 do The Bulletin of the American Mathematics Society, "o número de trabalhos e livros incluídos no banco de dados de revisões matemáticas desde 1940 (o primeiro ano de operação de RM) é agora mais de 1,9 milhões, e mais de 75 mil itens são adicionados ao banco de dados a cada ano. A esmagadora maioria dos trabalhos neste oceano contém novos teoremas matemáticos e suas provas ".

Etimologia

A palavra matemática vem do antigo grego Mátthēma (μάθημα), significando "o que é aprendido", "o que se sabe saber", portanto, também "estudo e" ciência ". A palavra para "matemática" passou a ter o significado mais restrito e mais técnico "estudo matemático", mesmo nos tempos clássicos. Seu adjetivo é Mathēmatikós (μαθηματικός), que significa "relacionado ao aprendizado" ou "estudioso", que também passou a significar "matemático". Em particular, Mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; latim: ars mathematica) significava "a arte matemática".

Da mesma forma, uma das duas principais escolas de pensamento no pitagorismo era conhecida como Mathēmatikoi (μαθηματικοί) - que na época significava "alunos" em vez de "matemáticos" no sentido moderno.

Em latim e em inglês até cerca de 1700, o termo matemática significava mais comumente "astrologia" (ou às vezes "astronomia") em vez de "matemática"; O significado mudou gradualmente para o presente de cerca de 1500 para 1800. Isso resultou em várias traduções incorretas. Por exemplo, o aviso de Saint Augustine de que os cristãos deveriam tomar cuidado com Mathematici, que significa astrólogos, às vezes é intranslado como uma condenação dos matemáticos.

A forma plural aparente em inglês, como a forma francesa do plural les mathématiques (e a derivada singular menos usada La Mathématique), remonta ao latim neutrário plural mathematica (cícero), com base no plural grego ta mathicalmatiká (τὰ μαθηματικκind), Usado por Aristóteles (384-322 aC) e significando aproximadamente "todas as coisas matemáticas", embora seja plausível que o inglês tenha emprestado apenas o adjetivo matemático (AL) e formou o substantivo matemática novamente, após o padrão de física e metafísica, que foram herdado de grego. Em inglês, o substantivo Matemática leva um verbo singular. Muitas vezes, é reduzido à matemática ou, na América do Norte, matemática.

Definições propostas

Não há consenso geral sobre a definição exata ou o status epistemológico da matemática. Muitos matemáticos profissionais não se interessam por uma definição de matemática ou consideram indefinível. Não há nem consenso sobre se a matemática é uma arte ou uma ciência. Alguns apenas dizem: "A matemática é o que os matemáticos fazem".

Aristóteles definiu a matemática como "a ciência da quantidade" e essa definição prevaleceu até o século XVIII. No entanto, Aristóteles também observou que o foco apenas na quantidade pode não distinguir a matemática de ciências como a física; Na sua opinião, a abstração e o estudo da quantidade como uma propriedade "separável em pensamento" de casos reais diferenciam a matemática.

No século 19, quando o estudo da matemática aumentou em rigor e começou a abordar tópicos abstratos, como teoria de grupos e geometria projetiva, que não têm uma relação clara com quantidade e medição, matemáticos e filósofos começaram a propor uma variedade de novas definições . Até hoje, os filósofos continuam abordando questões na filosofia da matemática, como a natureza da prova matemática.

Raciocínio lógico

Os matemáticos se esforçam para desenvolver seus resultados com o raciocínio sistemático, a fim de evitar "teoremas" equivocados. Essas falsas provas geralmente surgem de intuições falíveis e têm sido comuns na história da matemática. Para permitir o raciocínio dedutivo, algumas suposições básicas precisam ser admitidas explicitamente como axiomas. Tradicionalmente, esses axiomas eram selecionados com base no senso comum, mas os axiomas modernos normalmente expressam garantias formais para noções primitivas, como objetos e relações simples.

A validade de uma prova matemática é fundamentalmente uma questão de rigor, e o rigor mal -entendido é uma causa notável para alguns equívocos comuns sobre matemática. A linguagem matemática pode dar mais precisão do que no discurso cotidiano a palavras comuns como ou somente. Outras palavras, como Open e Field, recebem novos significados para conceitos matemáticos específicos. Às vezes, os matemáticos até cunham palavras inteiramente novas (por exemplo, homeomorfismo). Esse vocabulário técnico é preciso e compacto, possibilitando processar mentalmente idéias complexas. Os matemáticos se referem a essa precisão da linguagem e da lógica como "rigor".

O rigor esperado em matemática variou ao longo do tempo: os gregos antigos esperavam argumentos detalhados, mas no tempo de Isaac Newton, os métodos empregados eram menos rigorosos (não por causa de uma concepção diferente de matemática, mas por causa da falta dos métodos matemáticos que são necessário para alcançar o rigor). Os problemas inerentes à abordagem de Newton foram resolvidos apenas na segunda metade do século XIX, com as definições formais de números reais, limites e integrais. Mais tarde, no início do século XX, Bertrand Russell e Alfred North Whitehead publicariam seu Principia Mathematica, uma tentativa de mostrar que todos os conceitos e declarações matemáticos poderiam ser definidos e depois comprovadamente através da lógica simbólica. Isso fazia parte de um programa filosófico mais amplo conhecido como lógico, que vê a matemática como principalmente uma extensão da lógica.

Apesar da concisão da matemática, muitas provas exigem centenas de páginas para expressar. O surgimento de provas assistidas por computador permitiu que os comprimentos de prova se expandissem ainda mais. As provas assistidas podem ser errôneas se o software Proving tiver falhas e se forem demoradas, difíceis de verificar. Por outro lado, os assistentes de prova permitem a verificação de detalhes que não podem ser fornecidos em uma prova escrita à mão e fornecem certeza da correção de provas longas, como o do teorema de Feit-Thompson de 255 páginas.

Notação simbólica

Além da linguagem especial, a matemática contemporânea faz uso pesado de notação especial. Esses símbolos também contribuem para o rigor, simplificando a expressão de idéias matemáticas e permitindo operações de rotina que seguem regras consistentes. A notação moderna torna a matemática muito mais eficiente para os adeptos, embora os iniciantes possam achar isso assustador.

A maior parte da notação matemática em uso hoje foi inventada após o século XV, com muitas contribuições de Leonhard Euler (1707-1783) em particular. [Verificação fracassada] Antes disso, os argumentos matemáticos eram tipicamente escritos em palavras, limitando a descoberta matemática.

A partir do século XIX, uma escola de pensamento conhecida como formalismo se desenvolveu. Para um formalista, a matemática é principalmente sobre sistemas formais de símbolos e regras para combiná -los. A partir deste ponto de vista, até os axiomas são apenas fórmulas privilegiadas em um sistema axiomático, dado sem serem derivadas processualmente de outros elementos do sistema. Um exemplo máximo de formalismo foi o chamado de David Hilbert no início do século XX, muitas vezes chamado de programa de Hilbert, para codificar toda a matemática dessa maneira.

Kurt Gödel provou que esse objetivo era fundamentalmente impossível com seus teoremas incompletistas, que mostravam qualquer sistema formal rico o suficiente para descrever até a aritmética simples não poderia garantir sua própria integridade ou consistência. No entanto, os conceitos formalistas continuam a influenciar bastante a matemática, as declarações pontuais são esperadas por padrão como expressa nas fórmulas teóricas de conjuntos. Apenas resultados muito excepcionais são aceitos como não se encaixam em um sistema axiomático ou outro.

Conhecimento abstrato

Na prática, os matemáticos são tipicamente agrupados com cientistas, e a matemática compartilha muito em comum com as ciências físicas, principalmente o raciocínio dedutivo de suposições. Os matemáticos desenvolvem hipóteses matemáticas, conhecidas como conjecturas, usando tentativas e erros com a intuição também, da mesma forma aos cientistas. Matemática experimental e métodos computacionais como a simulação também continuam a crescer em importância na matemática.

Hoje, todas as ciências apresentam problemas estudados por matemáticos e, inversamente, os resultados da matemática geralmente levam a novas perguntas e realizações nas ciências. Por exemplo, o físico Richard Feynman combinou raciocínio matemático e insight físico para inventar a formulação integral do caminho da mecânica quântica. A teoria das cordas, por outro lado, é uma estrutura proposta para unificar grande parte da física moderna que inspirou novas técnicas e resulta em matemática.

O matemático alemão Carl Friedrich Gauss chamou a matemática de "a rainha das ciências" e, mais recentemente, Marcus du Sautoy descreveu a matemática como "a principal força motriz por trás da descoberta científica". No entanto, alguns autores enfatizam que a matemática difere da noção moderna de ciência de uma maneira importante: não depende de evidências empíricas.

O conhecimento matemático explodiu em escopo desde a revolução científica e, como em outros campos de estudo, isso impulsionou a especialização. Em 2010, a mais recente classificação de matemática da Sociedade Matemática Americana reconhece centenas de subcampos, com a classificação completa atingindo 46 páginas. Normalmente, muitos conceitos em um subcampo podem permanecer isolados de outros ramos da matemática indefinidamente; Os resultados podem servir principalmente como andaimes para apoiar outros teoremas e técnicas, ou podem não ter uma relação clara com nada fora do subcampo.

A matemática mostra uma tendência notável de evoluir e, com o tempo, os matemáticos geralmente descobrem aplicações ou vínculos surpreendentes entre conceitos. Um exemplo muito influente disso foi o programa Erlangen de Felix Klein, que estabeleceu vínculos inovadores e profundos entre geometria e álgebra. Por sua vez, isso abriu os dois campos para uma maior abstração e gerou subcampos inteiramente novos.

Uma distinção é frequentemente feita entre matemática aplicada e matemática orientada inteiramente para questões e conceitos abstratos, conhecidos como pura matemática. Como em outras divisões da matemática, o limite é fluido. As idéias que se desenvolvem inicialmente com uma aplicação específica em mente são frequentemente generalizadas posteriormente, juntando -se ao estoque geral de conceitos matemáticos. Várias áreas de matemática aplicada se fundiram com campos práticos para se tornarem disciplinas por si só, como estatísticas, pesquisa de operações e ciência da computação.

Talvez ainda mais surpreendente seja quando as idéias fluem na outra direção, e até a matemática "mais pura" leva a previsões ou aplicações inesperadas. Por exemplo, a teoria dos números ocupa um lugar central na criptografia moderna e, na física, as derivações das equações de Maxwell antecipavam evidências experimentais de ondas de rádio e a constância da velocidade da luz. O físico Eugene Wigner nomeou esse fenômeno de "eficácia irracional da matemática".

A estranha conexão entre matemática abstrata e realidade material levou a debates filosóficos desde pelo menos o tempo dos Pitágoras. O antigo filósofo Platão argumentou que isso era possível porque a realidade material reflete objetos abstratos que existem fora do tempo. Como resultado, a visão de que os objetos matemáticos existem de alguma forma por si mesmos em abstração é frequentemente chamado de platonismo. Embora a maioria dos matemáticos não se preocupe com as questões levantadas pelo platonismo, alguns mais filosoficamente se identificam como platonistas, mesmo nos tempos contemporâneos.

Criatividade e intuição

A necessidade de correção e rigor não significa que a matemática não tenha lugar para a criatividade. Pelo contrário, a maioria dos trabalhos matemáticos além dos cálculos rotativos requer solução inteligente de solução e exploração de novas perspectivas intuitivamente.

Os inclinados matematicamente geralmente veem não apenas a criatividade na matemática, mas também um valor estético, comumente descrito como elegância. Qualidades como simplicidade, simetria, integridade e generalidade são particularmente valorizadas em provas e técnicas. G. H. Hardy no pedido de desculpas de um matemático expressou a crença de que essas considerações estéticas são, por si só, suficientes para justificar o estudo da matemática pura. Ele também identificou outros critérios, como significado, inesperada e inevitabilidade, que contribuem para a estética matemática.

Paul Erdős expressou esse sentimento mais ironicamente por falar em "The Book", uma suposta coleção divina das provas mais bonitas. O livro de 1998 provas do livro, inspirado em Erdős, é uma coleção de argumentos matemáticos particularmente sucintos e reveladores. Alguns exemplos de resultados particularmente elegantes incluídos são a prova de Euclides de que existem infinitamente muitos números primos e a rápida transformação de Fourier para análise harmônica.

Alguns acham que, para considerar a matemática, uma ciência é subestimar sua arte e história nas sete artes liberais tradicionais. Uma maneira pela qual essa diferença de ponto de vista se desenrola é no debate filosófico sobre se os resultados matemáticos são criados (como em arte) ou descobertos (como na ciência). A popularidade da matemática recreativa é outro sinal do prazer que muitos encontram na solução de questões matemáticas.

No século XX, o matemático L. E. J. Brouwer até iniciou uma perspectiva filosófica conhecida como intuitionismo, que identifica principalmente a matemática com certos processos criativos na mente. O intuitionismo é, por sua vez, um sabor de uma postura conhecida como construtivismo, que considera apenas um objeto matemático válido se puder ser construído diretamente, não apenas garantido pela lógica indiretamente. Isso leva os construtivistas comprometidos a rejeitar certos resultados, particularmente argumentos como provas existenciais com base na lei do meio excluído.

No final, nem o construtivismo nem o intuicionismo deslocaram a matemática clássica ou alcançaram a aceitação convencional. No entanto, esses programas motivaram desenvolvimentos específicos, como lógica intuicionista e outras idéias fundamentais, que são apreciadas por si só.

Na sociedade

A matemática tem uma capacidade notável de atravessar limites culturais e períodos de tempo. Como atividade humana, a prática da matemática tem um lado social, que inclui educação, carreiras, reconhecimento, popularização e assim por diante.

Problemas de prêmios e prêmios

O prêmio de maior prestígio em matemática é a Medalha Fields, criada em 1936 e concedida a cada quatro anos (exceto na Segunda Guerra Mundial) a até quatro indivíduos. É considerado o equivalente matemático do Prêmio Nobel.

Outros prêmios de matemática de prestígio incluem:

The Abel Prize, instituted in 2002 and first awarded in 2003The Chern Medal for lifetime achievement, introduced in 2009 and first awarded in 2010The Wolf Prize in Mathematics, also for lifetime achievement, instituted in 1978

Uma lista famosa de 23 problemas abertos, chamados "Hilbert's Problems", foi compilado em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert. Esta lista alcançou grande celebridade entre os matemáticos [melhor fonte necessária] e, a partir de 2022, pelo menos treze dos problemas (dependendo de como alguns são interpretados) foram resolvidos.

Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulada "Problemas do Prêmio Millennium", foi publicada em 2000. Apenas um deles, a hipótese de Riemann, duplica um dos problemas de Hilbert. Uma solução para qualquer um desses problemas carrega uma recompensa de 1 milhão de dólares. Até o momento, apenas um desses problemas, a conjectura de Poincaré, foi resolvida.

Veja também

Bibliografia

Leitura adicional

Library resources about Mathematics Resources in your library